Toán Cao Cấp C1 – Đại Số Tuyến Tính.
Kiến thức cần nắm
- Các Phép Toán Ma Trận:
- Phép Cộng (trừ): Như cộng 2
vector a=(2 ;3) và b=(5 ;4 ) => a+b =(2+5 ;3+4) =
(7 ;7)
- Phép Nhân : A cấp 2x3 nhân với B cấp 3x5 thỉ được ma
trận C cấp 2x5. Cách nhân qua các bước sau :
i.
Nhân dòng 1 với cột 1 ghi vào vị trí dòng 1 cột 1 của ma trận C.
ii.
Nhân dòng 1 với cột 2 ghi vào vị trí dòng 1 cột 2 của ma trận C... (cho đến
hết số cột của ma trận B)
iii.
Nhân dòng 2 với cột 1 ghi vào vị trí dòng 2 cột 1 của ma trận C... ( Làm
tương tự như dòng 1)
Chú Ý : AxB khác BxA
c. Ma Trận Bậc thang Rút Gọn :
+ Phần tử trụ =1.
+ Các
phần tử cùng cột với phần tử trụ và khác phần tử trụ phải = 0.
d. Tìm Hạng Matran : là đưa Matran về ma trận bậc thang. Hạng của ma
trận = số dòng khác 0 của ma trận bậc thang.
Hạng Matran : Cho Matran A vuong cấp n: r(A) = n ó detA khác 0.
Hạng
Matran: Cho A cấp mxn, k = min{m,n}. r(A) = k ó A có định thức con cấp K khác
0.
Hạng
Matran: có 2 dòng không tỉ lệ thì r(A) >=2.
e. Chuyển Vị : ( A + B )T
= AT + BT
(x.A)T
= x. AT
- Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính :
- Phụ
thuộc tuyến tính là : cái này phụ thuộc vào cái kia qua một hàm số
hay biểu thức . (VD :
y=2x , x thuộc N, thì y phụ thuộc vào x và ngược lại)
i.
Theo định nghĩa của thầy : phụ thuộc tuyến tính là hàm số y=2x có
nghiệm x và y khác 0 sao cho y – 2x =0 VD : y=2 và
x=1 ; y=4, x=2,.... Có Vô Số Nghiệm. Nên Phụ
Thuộc Tuyến Tính.
ii.
Cách giải : Cho 2 ma trận A, B xét xem có phụ thuộc tuyến tính
hay không. Ta đưa về bài Toán xA + yB = 0, rồi tìm x, y. Nếu phương trình
có nghiệm khác 0 thì là Phụ thuộc tuyến tính. Nếu ra nghiệm x = y = 0 là Độc
Lập Tuyến Tính.
- Vậy : Độc Lập
tuyến tính là một hàm số mà x, y không phụ thuộc vào nhau. VD : x2
+ y2 = 0 Hàm số này = 0 khi x = y = 0 là
nghiệm duy nhất
i.
Cách giải bài toán giống như Phụ thuộc tuyến tính.
ii.
Chú Ý : Hệ 1 vector khác 0 luôn là hệ độc lập
tuyến tính.
+ Mọi hệ con khác
Rỗng của hệ ĐLTT luôn ĐLTT.
- Tính chất Phụ Thuộc Tuyến
Tính :
i.
Có chứa Vector 0. VD : a = (2 ;3) b =(0;0)
=> 2x + y0 = 0 và 3x + y0 = 0 có vô số nghiệm x = 0, y = 1 hay x = 0, y =
2....
ii.
Hai vector bằng nhau hoặc tỉ lệ với
nhau. VD : a= (2 ;3), b= (4 ;6) => 2x + 4y = 0 và 3x + 6y = 0
là phụ thuộc tuyến tính. (có vô số nghiệm)
iii.
Hệ có số vector lớn hơn số tọa độ
trong vector : VD : a=(2 ;3) b=(3 ;1) c = (4 ;5) Có 3 Vector lớn hơn số 2 tọa độ (x ,y)
(trong R2 ) trong mỗi vector.
iv.
Hệ chứa 1 hệ con PTTT là hệ PTTT.
- Độc Lập Tuyến Tính tối
đại (ĐLTT Max): Là độc lập Tuyến Tính và có tính Tối
Đại.
i.
Độc lập tuyến tính như trên.
ii.
Tối đại :
(giống với định nghĩa dung dịch bão hòa : Nếu dung dịch đã bão hòa,
ta thêm dung môi vào thì dung dịch không còn bão hòa) Vậy nếu ta thêm vào hàm số x2 + y2
+ z = 0 thi phương trình có vô số
nghiệm z = - (x2 + y2), và z phụ thuộc vào x, y
= > Phụ Thuộc tuyến tính. Không còn Độc Lập Tuyến tính nữa, nên ta
gọi hàm số chưa thêm là tối đại.
iii.
Cách giải : C1: Có hệ A gồm nhiều vector A1, A2,...
1. Tìm các vector Độc Lập
tuyến tính. VD: A1 Khác 0, nên ĐLTT. (xem Chú Ý ĐLTT)
2. Thêm vào các vector A1
ấy 1 vector A2 khác thành hệ B (chứa 2 vector : A1, A2.), nếu B còn độc
lập tuyến tính thì,
tiếp tục thêm vào vector khác nữa thành hệ C, Nếu C phụ thuộc tuyến tính thì B
là ĐLTT Max ( A1 con B, B con C)
3. C2 : Tìm hạng
matran liên kết. => ĐLTT Max là các vector khác 0 còn lại trong matran bậc
thang.
4. ĐL : Một hệ A có
thể có nhiều hệ con ĐLTT max, các hệ con này có số Vector bằng nhau.
TC : Nếu hệ đã ĐLTT thì hệ con ĐLTT Max chính
là hệ đó.
TC : Hệ Vector Không là ĐLTT Max ó nó chứa toàn các vector KHÔNG, hoặc là hệ Rỗng.
TC : Mọi hệ Vector đều có hệ con ĐLTT Max.
TC : r(A) = K => Mọi hệ con ĐLTT có K
vector luôn là ĐLTT Max.
- Hạng của hệ
Vector :
Số lượng vector của 1 hệ con ĐLTT Max trong hệ, là
hạng của hệ đó.
r(A) = 0 khi Ai = 0.
R(A) =< n (n là số vector trong hệ A)
R(A) = n khi A là hệ ĐLTT.
Hạng của hệ Vector = Hạng Ma trân liên kết của
nó.
Biện luận hạng ma trận theo m bằng cách dùng
detA. Có 2 trường hợp:
+
detA = 0 : Thế m vào Matran A để tìm r(A)
+
detA Khác 0: => r(A) = n (n là cấp của ma trận Vuông A)
+ Hoặc detA cấp K Khác 0 thì r(A) =
k với K = min(n,m) khi A có cấp nxm. VD: như A ma trận vuông cấp 3, có det Cấp
2 trong A khác 0 thì r(A) = 2.
Bài Giải:
++ Độc lập Tuyến Tính
– Phụ thuộc tuyến tính: (3 CÁCH)
C1: Xét phương trình xA1 + yA2 + zA3
= 0.
Nếu
ra nghiệm duy nhất thì ĐLTT.
Nếu
ra nhiều nghiệm thì PTTT.
C2: Tìm hạng ma trận liên kết: Bằng
phép BĐCS đưa về ma trận bậc thang. => r(A)
C3: (Số vector = Số chiều.)Tính định
thức ma trận liên kết:
Nếu
det = 0 => PTTT (suy biến)
Nếu
det Khác 0 => ĐLTT. (Không suy biến.)
++ B có được biểu thị
Tuyến Tính qua A??? (3 CÁCH.)
C1: Chứng minh A là hệ sinh => B
được BTTT qua A.
Nếu
A ĐLTT trong R3 và A có 3 vector => A là cơ sở của R3 => A là hệ sinh.
=> Mọi vector được BTTT qua A => B trong R3, được BTTT qua A.
C2: giải phương trình xA1 + yA2 +
zA3 = B.
Nếu có nghiệm => được BTTT qua A.
C3: tìm hạng ma trận liên kết của hệ
A và B. Bằng các phép BĐCS đưa ma trận liên kết về Bậc Thang => Hạng của hệ.
Nếu Hạng matr liên kết = hạng A => B được BTTT qua A.
C4: r(A,B) =< min(m,n). Do A là
ĐLTT Max => r(A,B) = r(A) => B được BTTT qua A
- Ma Trận
Nghịch Đảo: (Ma Trận Vuông)
- Tìm: A-1 = A* /
detA
- A.X = B => X = A-1.B
- X.A = B => X = B. A-1
- Suy biến là det = 0. Không Suy
biến là det Khác 0.
ð
Bài Toán: Tìm khả nghịch hay không là tính det Khác 0 hay det = 0.
- Cơ sở:
- Trong Rn A gồm n vector, A là
cơ sở khi: Det A Khác 0.
+ X dạng tọa độ đv cơ sở A khi:
phương trình xA1
+ yA2 + zA3 = B có nghiệm x, y, z.
Cam on.
Trả lờiXóa